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भिन्न संख्या युग्म लेकर 'इडली-वड़ा' खेल खेलते हुए, अंशु ने एक रोचक बात देखी!

  1. कभी-कभी, प्रथम सार्व गुणज, दोनों संख्याओं के गुणनफल के समान था।
  2. अन्य स्थितियों में प्रथम सार्व गुणज, दोनों संख्याओं के गुणनफल से छोटा था। उपरोक्त प्रत्येक कथन के लिए उदाहरण खोजिए। यह संख्या युग्म के सह-अभाज्य होने से किस प्रकार संबंधित है?
(1)

कभी-कभी, प्रथम सार्व गुणज, दोनों संख्याओं के गुणनफल के समान था। इसके लिए उदाहरण खोजिए।

Answer

जब दो संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं, तब उनका प्रथम सार्व गुणज उनके गुणनफल के समान होता है। उदाहरण: 3 और 7। इनका गुणनफल 21 है और प्रथम सार्व गुणज भी 21 है।

(2)

अन्य स्थितियों में प्रथम सार्व गुणज, दोनों संख्याओं के गुणनफल से छोटा था। इसके लिए उदाहरण खोजिए।

Answer

जब दो संख्याएँ सह-अभाज्य नहीं होती हैं, तब प्रथम सार्व गुणज गुणनफल से छोटा होता है। उदाहरण: 4 और 6। इनका गुणनफल 24 है, लेकिन प्रथम सार्व गुणज 12 है। यह संख्या युग्म के सह-अभाज्य होने से संबंधित है; यदि संख्याएँ सह-अभाज्य हैं तो प्रथम सार्व गुणज गुणनफल के बराबर होता है, अन्यथा छोटा होता है।

Explanation

यह प्रश्न सह-अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडों और गुणजों के बीच के संबंध पर आधारित है। यदि दो संख्याओं में 1 के अतिरिक्त कोई सार्व गुणनखंड नहीं है (सह-अभाज्य), तो उनका प्रथम सार्व गुणज उनके गुणनफल के बराबर होता है। यदि उनमें कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो प्रथम सार्व गुणज गुणनफल से छोटा होता है।