निर्धारित कीजिए कि क्या घटाव के साथ यह सत्य होगा: यदि 8 दो संख्याओं को भिन्न-भिन्न प्रकार से विभाजित करता है, तो क्या यह उनके अंतर को भी अवश्य ही पूर्णतः विभाजित करेगा?
हाँ, घटाव के साथ यह कथन सदैव सत्य होगा। यदि 8 दो संख्याओं को भिन्न-भिन्न प्रकार से विभाजित करता है, तो इसका अर्थ है कि दोनों संख्याएँ 8 की गुणज हैं।
मान लीजिए दो संख्याएँ और हैं, जहाँ और कोई भी पूर्णांक हैं। इनके अंतर को हम इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
चूँकि परिणामी व्यंजक में 8 एक गुणनखंड के रूप में सम्मिलित है, अतः यह अवश्य ही 8 से पूर्णतः विभाज्य होगा। उदाहरण के लिए, 16 और 56 दोनों 8 से विभाज्य हैं, और उनका अंतर भी 8 से पूर्णतः विभाजित होता है। इसलिए, यह नियम घटाव के लिए भी लागू होता है।
Explanation
यह प्रश्न गुणनखंडों और गुणजों के गुणधर्मों पर आधारित है। चूँकि दोनों संख्याएँ 8 की गुणज हैं, उन्हें और के रूप में लिखा जा सकता है। घटाव करने पर प्राप्त होता है, जो स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि परिणाम 8 का एक गुणज होगा। योग की तरह ही, घटाव में भी यह गुणधर्म सदैव सत्य रहता है।
Solution Steps
Step 1: मान लीजिए दो संख्याएँ और हैं, जो 8 की गुणज हैं।
Step 2: इनके अंतर की गणना कीजिए: ।
Step 3: चूँकि परिणाम है, इसलिए यह हमेशा 8 से पूर्णतः विभाज्य होगा।