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प्राचीन भारतीयों ने हिंदू संख्या पद्धति के लिए संभवतः आधार-10 का उपयोग किया होगा क्योंकि मनुष्य की दस अँगुलियाँ होती हैं और इसीलिए हम अपनी अँगुलियों से गिनती कर सकते हैं। यदि हमारी केवल 8 अँगुलियाँ होती तो क्या होता? तब हम संख्याएँ कैसे लिखते? यदि हम आधार 8 का उपयोग करते तब हिंदू संख्यांक कैसे लिखते? आधार-5 का उपयोग करने पर हिंदू संख्यांक कैसे लिखे जाते हैं? आधार 10 वाले हिंदू संख्यांक 25 को क्रमशः आधार-8 और आधार-5 वाले हिंदू संख्यांकों के रूप में लिखने का प्रयास कीजिए। क्या आप इसे आधार-2 में लिख सकते हैं?

Correct Answer

(i) यदि हमारी केवल 8 अँगुलियाँ होतीं, तो हम संख्याओं को लिखने के लिए आधार-8 संख्या पद्धति का उपयोग करते, जिसमें 0 से 7 तक के संख्यांकों का प्रयोग होता।

(ii) आधार-5 संख्या पद्धति में 0, 1, 2, 3, 4 प्रतीकों का उपयोग किया जाता है, जहाँ सांकेतिक संख्याएँ 5 की घातें होती हैं।

(iii) आधार-10 वाली संख्या 25 को आधार-8 में 31 और आधार-5 में 100 लिखा जाता है।

(iv) हाँ, 25 को आधार-2 में 11001 लिखा जा सकता है।

Exercise: आइए, पता लगाएँ | Q: 4 | (Page 80)
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Explanation

यदि मनुष्य की केवल 8 अँगुलियाँ होतीं, तो हम संख्याओं को लिखने के लिए आधार-8 संख्या पद्धति का उपयोग करते। इस स्थानीय मान पद्धति में सांकेतिक संख्याएँ 8 की घातें होतीं और हम 0 से 7 तक के संख्यांकों का उपयोग करते। प्रत्येक स्थान पर एकल अंक के प्रयोग के कारण संख्याओं को पढ़ते या लिखते समय किसी भी प्रकार की अस्पष्टता नहीं होती।

इसी प्रकार, आधार-5 संख्या पद्धति का उपयोग करने पर सांकेतिक संख्याएँ 5 की घातें होती हैं। इस पद्धति में 0, 1, 2, 3, 4 प्रतीकों का उपयोग किया जाता है। यह भी एक स्थानिक संख्या पद्धति है जहाँ प्रतीक की स्थिति से सांकेतिक संख्या निर्धारित होती है।

आधार-10 वाले हिंदू संख्यांक 25 को आधार-8 में लिखने पर:

25=(3)×81+(1)×80=3125 = (3) \times 8^1 + (1) \times 8^0 = 31

आधार-10 वाले संख्यांक 25 को आधार-5 में लिखने पर:

25=(1)×52+(0)×51+(0)×50=10025 = (1) \times 5^2 + (0) \times 5^1 + (0) \times 5^0 = 100

हाँ, हम इसे आधार-2 संख्या पद्धति में भी लिख सकते हैं। इसमें सांकेतिक संख्याएँ 2 की घातें होती हैं।

25=(1)×24+(1)×23+(0)×22+(0)×21+(1)×20=1100125 = (1) \times 2^4 + (1) \times 2^3 + (0) \times 2^2 + (0) \times 2^1 + (1) \times 2^0 = 11001

Solution Steps

  1. आधार-8 में: 25=(3)×81+(1)×80=3125 = (3) \times 8^1 + (1) \times 8^0 = 31

  2. आधार-5 में: 25=(1)×52+(0)×51+(0)×50=10025 = (1) \times 5^2 + (0) \times 5^1 + (0) \times 5^0 = 100

  3. आधार-2 में: 25=(1)×24+(1)×23+(0)×22+(0)×21+(1)×20=1100125 = (1) \times 2^4 + (1) \times 2^3 + (0) \times 2^2 + (0) \times 2^1 + (1) \times 2^0 = 11001